Question

已知x₁＞0，x₁≠1，且xn+1=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

，（n=1，2，…）．試證：數列{x_n}或者對任意自然數n都滿足x_n＜x_n+1，或者對任意自然數n都滿足x_n＞x_n+1．

Answer 1

分析：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，故x_n與x_n+1，的大小關系取決于x_n與1的大小，猜想分兩類：x₁＜1和x₁＞1，最后利用數學歸納法進行證明即可．

解答：證：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，
由于x₁＞0，由數列{x_n}的定義可知x_n＞0，（n=1，2，…）
所以，x_n+1-x_n與1-x_n²的符號相同．
①假定x₁＜1，我們用數學歸納法證明1-x_n²＞0（n∈N）
顯然，n=1時，1-x₁²＞0
設n=k時1-x_k²＞0，那么當n=k+1時
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＞0，
因此，對一切自然數n都有1-x_n²＞0，
從而對一切自然數n都有x_n＜x_n+1
②若x₁＞1，
當n=1時，1-x₁²＜0；
設n=k時1-x_k²＜0，那么當n=k+1時
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＜0，
因此，對一切自然數n都有1-x_n²＜0，
從而對一切自然數n都有x_n＞x_n+1

點評：本題主要考查了用數學歸納法證明不等式、不等式的證明，屬于中檔題．