Question

若方程ln(x+1)=

2

x

的根在區間（k，k+1）（k∈Z）上，則k的值為（　�。�

A．-1

B．1

C．-1或2

D．-1或1

Answer 1

分析：令f（x）=ln（x+1）-

2

x

，x＞-1，則當x＞0時，根據函數零點的判定定理求得f（x）在（ 1，2）上有唯一零點，
此時，k=1．當-1＜x＜0時，f（x）在區（-1，0）上也是增函數，根據函數零點的判定定理求得f（x）在（-1，0）
上有唯一零點，此時，k=-1．綜合可得k的值．

解答：解：令f（x）=ln（x+1）-

2

x

，且x＞-1，則方程ln(x+1)=

2

x

的實數根即為f（x）的零點．
則當x＞0時，f（x）在區間（k，k+1）（k∈Z）上單調遞增，
由于f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，故f（x）在（1，2）上有唯一零點．
當x＜0時，f（x）在區（-1，0）上也是增函數，由f（-

99

100

）=ln

1

100

+

200

99

=

200

99

-ln100＜3-lne³=0，
f（-

1

100

）=ln

99

100

+200＞200-ln1＞200＞0，
可得 f（-

99

100

）•f（-

1

100

）＜0，故函數f（x）在（-

99

100

，-

1

100

）上也有唯一零點，
故f（x）在區（-1，0）上也唯一零點，此時，k=-1．
綜上可得，∴k=±1，
故選D．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，判斷函數的零點所在的區間的方法，體現了化歸與轉化、分類討論的數學思想，
屬于基礎題．