Question

【題目】已知函數.

（1）討論的極值；

（2）若有兩個零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可得到極值；

（2）根據零點的概念得到，利用分析法只需證：，令，即證，設，根據函數的單調性證明即可.

（1），

①當時，由于，故，，

所以在內單調遞減，無極值；

②當時，由，得，

在上，，在上，，

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

函數有極小值，無極大值，

綜上：當時，無極值；當時，有極小值，無極大值.

（2）函數有兩個零點，，不妨設，

由（1）得，且，

則，，，

即，

要證：，需證：，

只需證：，只需證：，

只需證：，只需證：，

令，即證，

設，

則，即函數在單調遞減，

則，即得.