Question

【題目】設函數.若曲線在點處的切線方程為

（為自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是

(2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先根據曲線在點處的切線方程為

求出m=1,n=0，再利用導數求函數f(x)的單調區間.(2)第（2）問，先把原命題轉化為函數對任意恒成立，再利用導數求函數H（x）的單調性，檢驗每一種情況下H(x)的最大值是否小于零.

試題解析：

（1）函數定義域為.得，

，即所以.所以，

.函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）由題得函數對任意恒成立，

即不等式對任意恒成立.

又，當即恒成立時，

函數遞減，設，則，所以，即，符合題意；

當時， 恒成立，此時函數單調遞增.于是不等式對任意恒成立，不符合題意；

當時，設，

則 ；

當時， ，此時單調遞增，

，

故當時，函數遞增.于是當時, 成立，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為： .

點睛:本題的難點在于得到后如何解不等式>0或<0,只有解出了不等式才能得到函數H(x)的單調區間.本題利用了再構造再求導的方法（即二次求導）.當我們求出函數f(x)的導數之后，如果不易解出，可以利用二次求導找不等式的解集，從而找到原函數的單調性.