Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線與C交于M，N兩點，的周長為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過M作與y軸垂直的直線l，點，試問直線與直線l交點的橫坐標是否為定值？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值2，理由見解析

【解析】

（1）由離心率和過焦點的三角形的周長及a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得直線的方程，與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，求出的方程令，求出x的表達式，將兩根之和及兩根之積代入可得為定值2，

解：（1）三角形的周長，，，可得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）設，，

由（1）得，設直線的直線為：，

聯立直線與橢圓的方程：，解得：，

∴，，

直線的方程：，令，可得：

所以直線與直線l交點的橫坐標為定值2.