Question

【題目】如圖，已知四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，，.

(1)求證:平面平面；

(2)點為線段上一動點，求與平面所成角正弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用等腰梯形的性質證得，由面面垂直的性質定理證得平面，由此證得平面平面.

（2）建立空間直角坐標系，設出的長，利用直線的方向向量和平面的法向量，求得與平面所成角正弦值的表達式，進而求得與平面所成角正弦值的取值范圍.

在等腰梯形中，， ，

，. 即，.

又平面平面，平面平面平面，

平面

平面，

平面平面

（2）解:由(1)知，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

設，

則，，

設平面的法向量為

，即

令，則，

平面的一個法向量為.

設與平面所成角為，

當時取最小值，當時取最大值

故與平面所成角正弦值的取值范圍為.