Question

【題目】在四棱錐中，，，，，，平面，．

（）求二面角的正弦值．

（）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（）．（）．

【解析】

先由題意得到兩兩垂直；以為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系；

（1）分別求出平面，平面的法向量，根據向量夾角余弦值，即可求出結果；

（2）先設，，根據題中條件，用表示出點坐標，再由線面角的正弦值，即可列出等式，求出結果.

因為，平面，所以，易得兩兩垂直；以為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系；

則，，，

（）因此，，，，

所以，故，

又平面，所以，

因為，所以平面；

所以，平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，

則即，所以

令，則，

，

，

∴二面角正弦值為．

（）設，，

直線與平面所成角為，

則，

即，

得：，，，

∴，

∴，

，

，

得，

∴．