Question

【題目】已知點及圓：.

（1）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（2）若過點的直線與圓交于、兩點，且，求以為直徑的圓的方程；

（3）若直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）分兩種情況：當直線的斜率存在時，設出直線的斜率k，由P的坐標和設出的k寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出P到直線的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線的方程即可，當直線的斜率不存在時，得到直線的方程，經過驗證符合題意；

（2）利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長的一半及半徑，利用勾股定理求出項心距d，發現與d相等，得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；

（3）關于是否存在類問題，假設是存在的，根據條件，列出等量關系式，求得結果即可.

（1）圓C的圓心為，半徑，

當的斜率存在時，設直線的斜率為, 則方程為.

依題意得 ，

解得. 所以直線的方程為，即 .

當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.

（2）由于，

而弦心距，

所以 .

所以為的中點.

故以為直徑的圓的方程為.

（3）直線即,代入圓的方程，消去，整理得

．

由于直線交圓于兩點，

故，

解得． 則實數的取值范圍是．

若存在實數，使得過點的直線垂直平分弦,則圓心必在上．

所以的斜率，

而，所以．

由于，

故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．