【題目】已知長軸長為
的橢圓C：
的左、右焦點分別為F1、F2，且以F1、F2為直徑的圓與C恰有兩個公共點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若經過點F2的直線l與C交于M，N兩點，且M，N關于原點O的對稱點分別為P，Q，求四邊形MNPQ面積的最大值.
【答案】（1）
y2＝1（2）2
【解析】
（1）由題意可得
的值及
，再由，
，
之間的關系求出，進而求出橢圓的方程；
（2）由（1）可得右焦點
的坐標，由題意可得直線
的斜率不為0，設直線的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，由題意可得四邊形
為平行四邊形，所以四邊形的面積等于一個三角形面積的4倍，求出三角形
的面積，由均值不等式可得面積的最大值．
解：（1）由題意可得
，且，又
，所以可得
，
，
所以橢圓的方程為：
；
（2）由（1）可得右焦點
，再由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程為
，
設
，
，
，
，聯立直線與橢圓的方程可得
整理可得
，所以
，
，
由題意可得四邊形
為平行四邊形，
所以
，
當且僅當
即
時取等號，
所以四邊形面積的最大值為
．
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【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程：
（
為參數），以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）過曲線上一點
作直線
與曲線交于
兩點，中點為
，
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國是世界嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準
（噸），用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數據按照
分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數為3.6萬，試估計全市有多少居民？并說明理由；
（Ⅱ）若該市政府擬采取分層抽樣的方法在用水量噸數為
和
之間選取7戶居民作為議價水費價格聽證會的代表，并決定會后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發“低碳環保家庭”獎，設
為用水量噸數在中的獲獎的家庭數，
為用水量噸數在中的獲獎家庭數，記隨機變量
，求
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為比較甲，乙兩地某月
時的氣溫，隨機選取該月中的
天，將這天中時的氣溫數據（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖，考慮以下結論：①甲地該月時的平均氣溫低于乙地該月時的平均氣溫；②甲地該月時的平均氣溫高于乙地該月時的平均氣溫；③甲地該月時的氣溫的中位數小于乙地該月時的氣溫的中位數；④甲地該月時的氣溫的中位數大于乙地該月時的氣溫的中位數．其中根據莖葉圖能得到的正確結論的編號為( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形，
∥
，
，
是等邊三角形，側面
底面，
，
，
，點
是棱
上靠近點
的一個三等分點．
（1）求證：
∥平面
；
（2）設點
是線段（含端點）上的動點，若直線
與底面所成的角的正弦值為
，求線段
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，ABAC，AB＝3，AC＝4，B1CAC1．
（1）求AA1的長；
（2）試判斷在側棱BB1上是否存在點P，使得直線PC與平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，
為橢圓上任意一點，當
時，
的面積為
，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
經點
，與橢圓交于不同的兩點
、
，且
，求直線的方程.
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