Question

（本小題滿分12分）已知的兩頂點坐標，，圓是的內切圓，在邊，，上的切點分別為，（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；
（2）設直線與曲線的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線的方程或.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的第一定義、橢圓的標準方程、橢圓的幾何意義、直線的方程、向量垂直的充要條件等基礎知識，考查用代數法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用圓外一點到圓的兩條切線段長相等，轉化邊，得到，所以判斷出曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓（挖去與軸的交點），利用已知求出橢圓標準方程中的基本量；第二問，根據已知設出直線的方程，直線與曲線聯立，消參得關于的方程，求出方程的2個根，并且寫出兩根之和兩根之積，因為點在以為直徑的圓上，所以只需使，解出參數從而得到直線的方程.
試題解析：⑴解：由題知
所以曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓（挖去與軸的交點），
設曲線：，
則，
所以曲線：為所求.     4分
⑵解：注意到直線的斜率不為，且過定點，

設，
由
消得，所以，
所以         8分
因為,所以

注意到點在以為直徑的圓上,所以,即,   11分
所以直線的方程或為所求.    12分
考點：1.橢圓的第一定義；2.橢圓的標準方程；3.直線與橢圓的位置關系；4.韋達定理；5.向量垂直的充要條件.