Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設函數，若，且在上恒成立，求的取值范圍；

（3）設函數，若，且在上存在零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調減區間為，單調增區間為；（2）；（3）

【解析】

（1）求導后，根據導函數的符號即可確定單調區間；（2）分別在和兩種情況下，判斷恒成立的條件；當時，利用二次函數的性質，結合可構造不等式求得的范圍；當時，利用分離變量法得到恒成立，進而通過求解右側函數最小值得到的范圍；兩個范圍取交集即為最終結果；（3）將函數在上存在零點轉化為在上有解的問題；通過討論的正負可分離變量變為，利用導數求解不等式右側函數的最大值得到結果.

（1）當時，

令得：

函數的定義域為

當時，；當時，，

函數的單調減區間為，單調增區間為

（2）由得：.

當時，恒成立

當，即時，恒成立；

當，即時，

解得：

綜上所述：

當時，由恒成立得：恒成立

設，則.

令得：

當時，；當時，

綜上所述：的取值范圍為：

（3）

在上存在零點 在上有解

即在上有解

又，即

在上有解

設，則

令得：

當時，；當時，

，即 .

設，則

同理可證：

則在上單調遞減，在上單調遞增

，故

的取值范圍為：