Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為點，左、右頂點分別為，長軸長為，橢圓上任意一點（不與重合）與連線的斜率乘積均為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，過點的直線與橢圓交于兩點，過點的直線與橢圓交于兩點，且，試問：四邊形可否為菱形？并請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是.

【解析】

（1）由長軸長為可得，然后結合求得的值，從而得到橢圓方程；

（2）根據以及橢圓的對稱性可得為平行四邊形，其對角線交點為原點，設出直線的方程為與橢圓方程聯立，由韋達定理可得，，故要使四邊形為菱形，則，利用向量表示出，整理可得，解方程則可得到答案。

（1）由題意，，則，。設，則點與點連線的斜率為，點與點連線的斜率為，故，又因為點在橢圓上，故有，聯立解得，

則橢圓的方程為.

（2）由于點關于原點對稱且，故關于原點對稱，又橢圓關于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形；由（1），知，易知直線不能平行于軸.所以令直線的方程為，設，.聯立方程，得，所以，.若是菱形，則，即，于是有，整理得到，即，上述關于的方程顯然沒有實數解，故四邊形不可能是菱形.