Question

【題目】已知各項均為正數數列滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）若等比數列滿足，求的值用含n的式子表示；

（3）若，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）根據題意，令，求出，列出時的表達式，兩式相減，整理可得的關系式，列出的關系式，兩式相減得到的關系式，利用等差數列通項公式進行求解即可；

（2）由（1）求出，代入等比數列通項公式可得數列的通項公式，令，利用錯位相減法進行求和即可.

（3）由題意知，，分別令，解方程求出，當時，有，兩式相減得到，進而可得，兩式相減可得，令，證得，由等差數列的定義可知即得證.

（1）各項均為正數數列滿足，

，解得，當時，可得： ，

兩式相減可得，，

整理可得，，，

時，，兩式相減可得：，

數列為首項為，公差為的等差數列，.

（2）因為等比數列滿足

所以數列的公比，，

令，

則，，兩式相減可得，

；

（3）證明：由（1）知，，

可得：，又.

解得，

時，，，

兩式相減可得：，

所以，

兩式相減可得：

設，化為：.

又，可得，以此類推可得：，

即數列是等差數列.