Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為（其中為常數）.

（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求的取值范圍；

（2）當時，求曲線M上的點與曲線N上的點之間的最小距離.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）由，可得到M的普通方程，由極坐標與直角坐標的互化公式可得N的直角坐標方程，根據數形結合的思想，畫出兩個函數圖象，分析即可得到.

（2）設M上的任意一點為，由點到直線的距離公式求出該點到曲線N的距離，轉化成求二次函數的最值問題，求解即可.

（1）由，

得曲線M的普通方程為，

曲線N的直角坐標方程為.如圖：

當曲線N過點時曲線M與曲線N只有一個公共點，此時.

當曲線N過點時，.

當曲線N與曲線M相切時，由

得，

解得.

結合圖像可得或.

（2）當時，曲線，設M上的任意一點為，則

該點到曲線N的距離，

當且僅當時取等號，滿足，所以所求的最小距離為.