Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，PD//MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=ADPD=1.

（1）求證：平面ABCD⊥平面AMPD；

（2）求三棱錐A﹣CMP的高.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面垂直的性質定理可得PM⊥CD，根據正方形的性質可得CD⊥AD，再利用線面、面面垂直的垂直的判定定理即可證出.

（2）利用等體法VA﹣CMP=VC﹣AMP，結合三棱錐的體積公式即可求出.

（1）∵PM⊥平面CDM，且CD平面CDM，∴PM⊥CD，

又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

在梯形AMPD中，PM與AD相交，

∴CD⊥平面AMPD，

又∵CD平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面AMPD；

（2）設三棱錐A﹣CMP的高為h，

由（1）知CD⊥平面AMPD，且PM⊥平面CDM，

∴PM⊥CM，PM⊥DM，

∵，

∴，，，

∴，

；

∵VA﹣CMP=VC﹣AMP，

∴；

即h1，

解得h；

∴三棱錐A﹣CMP的高為.