Question

【題目】設數列的首項，且時，，，，．

（Ⅰ）若，求，，，．

（Ⅱ）若，證明：．

（Ⅲ）若，求所有的正整數，使得對于任意，均有成立．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

試題(I)由a1=a且0<a<1代入得到a2；a2∈(3，4)，代入(2)得到a3；a3∈(0，1)，代入(1)得a4；a4∈(3，4)，代入(2)得到a4；a5∈(0，1)，代入(1)所以求得a5；
(II)分兩種情況①當0<an≤3時和②當3<an<4得到0<an+1<4得證；
(III)分三種情況若0<a<1；1≤a<2；若a=2，由特殊值得到k的特值，寫出k的一般的取值即可．

試題解析：

(Ⅰ)∵得，∴，

∵，∴，

，∴，

，∴．

(Ⅱ)證明：①當時，，∴，

②當，，∴，

綜上，時，．

(Ⅲ)①若，由Ⅰ知，所以，

∴ 當時，對所有的，成立．

②若，則，且，

，∴，

∴ 當時，對所有的，成立，

③若，則，∴，

∴ 時，對所有的，成立，

綜上，若，則，，

若，則，，

若，則，．