Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．

（Ⅰ）證明：．

（Ⅱ）求平面和平面所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題 (Ⅰ)由已知得,，，∴ ,由勾股定理得 ,從而平面，由此能證明.
(Ⅱ)取AD的中點O,連結OE,則,取AB的中點F,連結OF,則,以O為原點,建立空間直角坐標系,求出平面CDE的法向量和平面CDE的一個法向量,由此能求出平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值.

試題解析：(Ⅰ)，，∴，

同理，，∴，

又∵，∴由勾股定理可知，，

又∵ 平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

(Ⅱ)解：取的中點，連結，則，

∵ 平面平面，平面平面，

∴平面，

取的中點，連結，

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

設平面的法向量為，

則即，令，則，，

∴ 平面的法向量，

又平面的一個法向量為，

設平面和平面所成角（銳角）為，

則，

∴ 平面和平面所成角（銳角）的余弦值為．