Question

【題目】已知函數（，）

（1）若，求函數的單調區間與極值；

（2）若在區間上至少存在一點，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析：（1）求出的表達式，定義域以及導數，然后判斷導函數的符號，求出單調區間．

（2）若在區間上至少存在一點，使成立，其充要條件是在區間上的最小值小于0即可．利用導數研究函數在閉區上的最小值，先求出導函數f，然后討論研究函數在上的單調性，將的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．

試題解析：（1）當時，，令，解得，又函數的定義域為，由 ，得，由，得，

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

時，有極小值，無極大值

（2）若在上存在一點，使得成立，即在區間上單調遞減

故在區間上的最小值為，

由，得，

當即時，

①若，則對成立，所以在區間上單調遞減

則在區間上的最小值為，

顯然，在區間的最小值小于不成立.

②若，即時，則有在單減，單增，

所以在區間上的最小值為，由 ，

得，解得，即，綜上，.