Question

已知數列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且當n≥2時，a_n-na_n-1=0，．記n的階乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列為等差數列；
（3）若，求{c_n}的前n項和．

Answer 1

（1）解：∵a_n-na_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴a_n=na_n-1=n（n-1）a_n-2=n（n-1）（n-2）a_n-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a₁=1=1!，∴a_n=n!
（2）證明：由，兩邊同時除以2ⁿ得：
，即．
∴數列{}是以為首項，公差為的等差數列，
則，故．
（3）解：因為，
．
記A_n=
=
=．
記{}的前n項和為B_n．
則 ①
∴ ②
由②-①得：
=．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=．
所以數列{c_n}的前n項和為．
分析：（1）把遞推式a_n-na_n-1=0變形后進行循環，可以得到a_n=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!，驗證a₁成立，則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）把給出的遞推式兩邊同時除以2ⁿ，移向整理即可證得數列為等差數列；
（3）把數列{a_n}的通項代入，把數列{b_n}的通項代入，利用裂項相消和錯位相減法分別求出數列{}和{}的和后直接作和即可．
點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數列和等比數列通項公式的求法，考查了利用裂項相消和錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．