Question

（2012•紅橋區一模）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為

3

4

，乙每次擊中目標的概率

2

3

，假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲至少有1次未擊中目標的概率；
（Ⅱ）記甲擊中目標的次數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望Eξ；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知，兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；甲每次擊中目標的概率為

3

4

，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，根據獨立重復試驗概率公式得到結果．
（II）根據題意看出變量的可能取值，根據變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式，寫出變量對應的概率，寫出分布列，做出期望值．
（III）甲恰比乙多擊中目標2次，包括甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次，甲恰擊中目標 3次且乙恰擊中目標 1次，這兩種情況是互斥的，根據公式公式得到結果．

解答：解：（I）記“甲連續射擊3次，至少1次未擊中目標”為事件A₁，
由題意知兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，
射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，
故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-（

3

4

）³=

37

64

．
故甲至少有1次未擊中目標的概率為

37

64

；
（II）由題意知X的可能取值是0，1，2，3
P（X=0）=

C

0 3

•（

1

4

）³=

1

64

，
P（X=1）=

C

1 3

•

3

4

•（

1

4

）²=

9

64

，
P（X=2）=

C

2 3

•（

3

4

）²•

1

4

=

27

64

，
P（X=3）=

C

3 3

•（

3

4

）³=

27

64

，
X的概率分布如下表：

X	0	1	2	3
P	1 64	1 64	27 64	27 64

EX=0•

1

64

+1•

1

64

+2•

27

64

+3•

27

64

=

17

8

（III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，
甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B₁，甲恰擊中目標 3次且乙恰擊中目標 1次為事件B₂，
則A=B₁+B₂，B₁，B₂為互斥事件．                            
P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

27

64

•

1

27

+

27

64

•

6

27

=

7

64

∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為

7

64

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一個基礎題，這種題目解題的關鍵是看清題目事件的特點，找出解題的規律，遇到類似的題目要求能做．