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【題目】如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且，將沿著線段AD折起，同時將沿著線段BC折起，使得E，F兩點重合為點P．

求證：平面平面ABCD；

求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

利用折疊前后AD與AB，AE的垂直關系不變容易證明；取AB中點O，利用的結果，容易建立空間坐標系，得到各點坐標，進而得到向量，法向量，代入公式計算即可．

證明：四邊形ABCD為正方形，

，，

，

平面PAB，

平面平面PAB；

以AB中點O為原點建立空間坐標系如圖，

，

，

，0，，，，

，，，

設是平面PCD的一個法向量，

則，

，

取，則，

設直線PB與平面PCD的所成角為，

則

，

故直線PB與平面PCD的所成角的正弦值為：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，△為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，，，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，過點且與軸不重合的直線與相交于兩點，點，直線與直線交于點.

（1）當垂直于軸時，求直線的方程；

（2）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，A 為橢圓的下頂點，過 A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點，C 是 AB 的中點．

（I）求證：點C的縱坐標是定值；

（II）過點C作與直線 l 傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點，求p的值，使得△BMN的面積最大．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正整數n都可以唯一表示為 ①的形式，其中m為非負整數，（，），.試求①中的數列嚴格單調遞增或嚴格單調遞減的所有正整數n的和.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到焦點的最長距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P（0，2）的直線l（不過原點O）與橢圓C交于兩點A、B，M為線段AB的中點．

（ⅰ）證明：直線OM與l的斜率乘積為定值；

（ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時l的斜率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】5G網絡是第五代移動通信網絡，其峰值理論傳輸速度可達每8秒1GB，比4G網絡的傳輸速度快數百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內下載完成．隨著5G技術的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質（UHD）節目的時代正向我們走來．某手機網絡研發公司成立一個專業技術研發團隊解決各種技術問題，其中有數學專業畢業，物理專業畢業，其它專業畢業的各類研發人員共計1200人．現在公司為提高研發水平，采用分層抽樣抽取400人按分數對工作成績進行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．

（1）從總體的1200名學生中隨機抽取1人，估計其分數小于50的概率；

（2）研發公司決定對達到某分數以上的研發人員進行獎勵，要求獎勵研發人員的人數達到30%，請你估計這個分數的值；

（3）已知樣本中有三分之二的數學專業畢業的研發人員分數不低于70分，樣本中不低于70分的數學專業畢業的研發人員人數與物理及其它專業畢業的研發人員的人數和相等，估計總體中數學專業畢業的研發人員的人數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸交點為，且曲線上異于點的相異兩點、滿足.

(1)求曲線的方程；

(2)證明直線恒經過一定點，并求出此定點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

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