Question

【題目】已知函數的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸．

（1）求函數的解析式；

（2）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，若角滿足，求的取值范圍；

（3）將函數的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應的函數記作，已知常數，，且函數在內恰有個零點，求常數與的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由函數的周期公式可求出的值，求出函數的對稱軸方程，結合直線為一條對稱軸結合的范圍可得出的值，于此得出函數的解析式；

（2）由得出，再由結合銳角三角函數得出，利用正弦定理以及內角和定理得出，由條件得出，于此可計算出的取值范圍；

（3）令，得，換元得出，得出方程，設該方程的兩根為、，由韋達定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三種情況討論，計算出關于的方程在一個周期區間上的實根個數，結合已知條件得出與的值.

（1）由三角函數的周期公式可得，，

令，得，

由于直線為函數的一條對稱軸，所以，，

得，由于，，則，

因此，；

（2），由三角形的內角和定理得，.

，且，，.

，

由，得，由銳角三角函數的定義得，，

由正弦定理得，，

，

，且，，，.

，因此，的取值范圍是；

（3）將函數的圖象向右平移個單位，

得到函數，

再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應的函數為，

，

令，可得，

令，得，，

則關于的二次方程必有兩不等實根、，則，則、異號，

（i）當且時，則方程和在區間均有偶數個根，

從而方程在也有偶數個根，不合乎題意；

（ii）當，則，當時，只有一根，有兩根，

所以，關于的方程在上有三個根，

由于，則方程在上有個根，由于方程在區間上只有一個根，在區間上無實解，方程在區間上無實數解，在區間上有兩個根，因此，關于的方程在區間上有個根，在區間上有個根，不合乎題意；

（iii）當時，則，當時，只有一根，有兩根，

所以，關于的方程在上有三個根，

由于，則方程在上有個根，由于方程在區間上無實數根，在區間上只有一個實數根，

方程在區間上有兩個實數解，在區間上無實數解，

因此，關于的方程在區間上有個根，在區間上有個根，此時，，得.

綜上所述：，.