Question

（本小題滿分16分）設數列的前n項和為，數列滿足: ,且數列的前
n項和為.
(1) 求的值；
(2) 求證：數列是等比數列；
(3) 抽去數列中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，……余下的項順序不變，組成一個新數列，若的前n項和為，求證：.

Answer 1

解:(1)由題意得: ;………………1分
當n=1時,則有: 解得: ;
當n=2時,則有: ,即,解得: ;
………………2分
(2)由 ①得:
 ②  ………………3分
② - ①得: ,
即:  即:; ……………5分
,由知:
數列是以4為首項,2為公比的等比數列.…………………………………8分
(3)由(2)知: ,即……………………9分
當n≥2時, 對n=1也成立,
即(n………………………………………………………….…10分
數列為,它的奇數項組成以4為首項、公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列；…………………11分
當n="2k-1" 時,
                                                        …………………14分
當n="2k" 時,

.……………………………………………………………16分

略