Question

【題目】已知動點與點的距離和它到直線：的距離的比是.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知定點，若，是軌跡上兩個不同動點，直線，的斜率分別為，，且，試判斷直線的斜率是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）斜率為定值，該值為1.

【解析】

(1)由動點與點的距離和它到直線：的距離的比是，可得方程，化簡可得的軌跡的方程；

（2）設直線的斜率為，則直線的斜率為,可得所以直線的方程為，直線的方程為. 設點，，由，因為點在橢圓上,可得的值，的值，可得直線的斜率為定值.

解：（1）設是點到直線：的距離，依題意可得，

點的軌跡就是集合：，

由此得，

將上式兩邊平方，并化簡得，

即點的軌跡方程是.

（2）因為，

設直線的斜率為，則直線的斜率為.

所以直線的方程為，

直線的方程為.

設點，，由，

得 （1）

因為點在橢圓上，所以是方程（1）的一個根，

則，所以.

同理，所以，.

又，

所以直線的斜率，

所以直線的斜率為定值，該值為1.