Question

【題目】如圖所示， 是某海灣旅游區的一角，為營造更加優美的旅游環境，旅游區管委會決定建立面積為平分千米的三角形主題游戲樂園，并在區域建立水上餐廳.

已知， .

（1）設， ，用表示，并求的最小值；

（2）設（為銳角），當最小時，用表示區域的面積，并求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)S= ,8－.

【解析】試題分析：

(1)首先確定函數的解析式為結合均值不等式的結論可得的最小值是;

(2)結合題意和三角函數的性質可得S=，利用三角函數的性質可知的最小值是8－.

試題解析：

（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，

在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，

即y2＝x 2＋＋16，

所以y＝

y＝≥＝4，

當且僅當x2＝，即x＝4時取等號．

所以當x＝4時，y有最小值4．

（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，

在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，

在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，

所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．

因為θ為銳角，

所以當θ＝時，S有最小值8－4．