Question

【題目】已知數列的前項和為，當時，滿足.

（1）求證：；

（2）求證：數列為等差數列；

（3）若，公差，問是否存在，，使得？如果存在，求出所有滿足條件的，，如果不在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在，或.

【解析】

（1）已知條件是時，，令可證結論；

（2）已知條件變形

，用累加的方法得，從而，把此式再寫一次：

當時，，兩式相減得：時，，同時也適合此式，從而證明是等差數列；

（3）由求得，讓從2開始一一檢驗，看是否有，當然時，有，.

（1）證明：∵時，，

令得，，

∴.

（2）由

，

∴，

各式相加得，，

當時，，

由時，，

而，，也滿足上式，∴為等差數列.

（3）∵，公差為，

∴，，，

當時，，當時，，

當時，（舍），時，（舍），

當時，（舍），時，（舍），

當時，（舍），

當時，，

∴，（舍），

綜上或.