Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣x﹣ （a∈R），在定義域內有兩個不同的極值點x1 ， x2（x1＜x2）．
（ I）求a的取值范圍；
（ II）求證：x1+x2＞2e．

Answer 1

【答案】解：（I）令g（x）=f'（x）=lnx﹣ax，

由題意可知，g（x）=0在（0，+∞）上有兩個不同根x1，x2，且x1＜x2，

∵g′（x）= ，

a≤0時，g′（x）≥0，y=g（x）在（0，+∞）遞增，不合題意，

當a＞0時，令g′（x）=0，解得：x= ，

∴g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

而x→0時，g（x）→﹣∞，x→+∞時，g（x）→﹣∞，

故g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣1＞0，解得：0＜a＜

（II）由題意及（I）可知，即證 ，

設h（x）=lnx﹣ ，（x＞1），則h′（x）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）遞增，

∴h（x）＞h（1）=0，

∴lnx＞ ，（x＞1），

令x= ＞1，則原不等式成立

【解析】第一問根據函數f(x)有兩個極值點，可得f(x)的導數g（x）等于0有兩個不同的正解；再求函數g（x）的導數g′（x）確定函數g（x）的單調性，根據題意可得g（x）的最大值大于0，可得。
第二問是雙參問題，需要消參，根據x1，x2是函數g（x）=0的兩個解，可得,,兩式相減，可得a,然后根據所證消a.再根據不等式，除以，得到,后令 ，構造h（x）利用單調性求最值即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．