Question

【題目】如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，四邊形為正方形，， ，．

（1）證明；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）證明出平面，然后利用線面平行的性質定理可證明出，再利用空間平行線的傳遞性可得出結論；

（2）證明出平面平面，然后作，垂足為，可得出平面，由此以點為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，為單位長建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的平面角的余弦值.

（1）四邊形為正方形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，因此，；

（），，，平面，

平面，平面平面，

作，垂足為，平面，平面平面，平面，

以點為坐標原點，方向為軸正方向，為軸正方向，為單位長，如圖建立空間直角坐標系，

則，

，，，．

，，

設平面的法向量為，

則，即，取，則，，所以， ，

又，，

設平面的法向量為，

則即，令，則，，，

設二面角的平面角為，．

即二面角的平面角的余弦值為．