Question

【題目】已知函數，其中為正實數.

討論函數的單調性；

若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；.

【解析】

由題意可知的定義域為，， 令，得，，分類討論，，時導函數的正負來判斷函數的單調性；

若存在，使得不等式成立，則時，.由可知，當，即時，函數在區間上單調遞增，；當，即時，由知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，，當，即時，函數在區間上單調遞減，，不成立，進而得出結論.

解：的定義域為.

.

令，得，.

當時，即時，

令，得，或；

令，得，

故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

當時，即時，恒成立，故在區間上單調遞增

當時，即時，令，得，或；

令，得，故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

綜上所述：當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，在區間上單調遞增；

當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

若存在，

使得不等式成立，

則時，.

由可知，當，即時，函數在區間上單調遞增，

，解得，

；

當，即時，

由知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

.

令，

，

則，

函數在區間上單調遞增.

恒成立，.

當，即時，

函數在區間上單調遞減，

，不成立.

綜上所述，的取值范圍是.