Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）設，求證：；

（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數，進而可得函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）利用導數可得在區間上存在唯一零點，所以函數在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構造函數，利用導數可得的單調性，即可得到的最小值為，再次構造函數（a），，利用導數得其單調區間，進而求得最大值．

（Ⅰ）當時，，

則，所以，

又因為，所以在上為增函數，

因為，所以當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

即函數的單調增區間為，單調減區間為；

（Ⅱ），

則令，則（1），，

所以在區間上存在唯一零點，

設零點為，則，且，

當時，，當，，，

所以函數在遞減，在，遞增，

，

由，得，所以，

由于，，從而；

（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，

不妨令，

因為，，

所以的解為，

則當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

所以的最小值為，

則，

不妨令（a），，

則（a），解得，

所以當時，（a），（a）為增函數，

當時，（a），（a）為減函數，

所以（a）的最大值為，

則的最大值為．