Question

【題目】如圖，四棱錐中，，//，，為正三角形. 若，且與底面所成角的正切值為.

（1）證明：平面平面；

（2）是線段上一點，記（），是否存在實數，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

證法一：先計算出，結合已知得，由勾股定理得，又，可以證得平面，平面平面

證法二：設在平面內的射影為，連接，結合已知條件得，可求得，，四邊形是正方形，即可證得垂直關系

，，兩兩垂直，以它們所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，繼而求出的值

（1）證法一：，且，，

又為正三角形，所以，

又，，所以，

又，//，，，

所以平面，又因為平面，

所以平面平面.

證法二： 設在平面內的射影為，連接,

則即為在平面內的射影，故即為

與底面所成的角，因為,所以

而，，所以，

又為正三角形，所以,所以

由，，得，所以 ，從而是正方形，

由，得：平面，于是平面平面.

（2）由（1）可知，,,兩兩垂直，以它們所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則,,,,,

由可得，所以，,,

設平面的法向量為，

則，即，令，得，，

所以，顯然，是平面的法向量.

設二面角為，

則，

依題意有，解得.