Question

【題目】已知圓：關于直線對稱且過點和，直線過定點.

（1）證明：直線與圓相交；

（2）記直線與圓的兩個交點為，.

①若弦長，求直線方程；

②求面積的最大值及面積的最大時的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①②

【解析】

（1）求出的垂直平分線方程，與聯立，可得圓的圓心坐標，進而可得圓的半徑，聯立，計算判別式，可得結果；

（2）①設直線的方程為，求出弦心距，在利用半徑和弦長列方程可得；

②根據面積公式可得，進而可求出最值及此時的直線方程.

（1）證明：∵、，

∴的垂直平分線為聯立方程得圓心坐標

∴圓的方程為

又∵圓過點∴

進而得到圓的方程：，

設直線的方程為，則

聯立得：

∴

∴直線與圓相交；

（2）解：設直線的方程為，

記圓心到直線的距離為.

①∵，解得，

∴，解得，

此時直線的方程為，

②，

當時，三角形面積的最大值為2，

此時解得，

此時直線的方程為即.