Question

（2007?上海）在豎直平面內，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應的曲線方程為y=2.5cos（kx+

2

3

π）（單位：m），式中k=1m^-1．將一光滑小環套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀=5m/s的初速度沿桿向下運動，取重力加速度g=10m/s²．則當小環運動到x=

π

3

 m時的速度大小v=

5

2

m/s

該小環在x軸方向最遠能運動到x=

5π

6

m處．

Answer 1

分析：環在運動的過程中，機械能守恒，根據曲線方程可以確定環的位置，即環的高度的大小，再根據機械能守恒可以求得環的速度的大小和小環在x軸方向能運動的最遠的位置．

解答：解：光滑小環在沿金屬桿運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，
由曲線方程知，環在x=0處的y坐標是-

2.5

2

m；在x=

π

3

時，y=2.5cos（kx+

2

3

π）=-2.5 m．
選y=0處為零勢能參考平面，則有：

1

2

mv₀²+mg（-

2.5

2

）=

1

2

mv²+mg（-2.5），
解得：v=5

2

m/s．
當環運動到最高點時，速度為零，
同理有：

1

2

mv₀²+mg（-

2.5

2

）=0+mgy．
解得y=0，即kx+

2

3

π=π+

π

2

，該小環在x軸方向最遠能運動到x=

5π

6

m處．
故答案為：5

2

m/s；　

5π

6

m．

點評：本題和數學的上的方程結合起來，根據方程來確定物體的位置，從而利用機械能守恒來解題，題目新穎，是個好題．