Question

我國“嫦娥一號”月球探測器在繞月球成功運行之后，為進一步探測月球的詳細情況，又發射了一顆繞月球表面飛行的科學試驗衛星，假設該衛星繞月球的運動視為圓周運動，并已知月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮月球自轉的影響．
（1）求該衛星環繞月球運行的第一宇宙速度v₁；
（2）若該衛星在沒有到達月球表面之前先要在距月球某一高度繞月球做圓周運動進行調姿，且該衛星此時運行周期為T，求該衛星此時的運行半徑r；
（3）由題目所給條件，請提出一種估算月球平均密度的方法，并推導出密度表達式．

Answer 1

分析：1、根據第一宇宙速度的定義以及萬有引力等于向心力列出等式求解
2、根據衛星的萬有引力等于向心力列出等式表示出衛星此時的運行半徑
3、抓住月球表面萬有引力等于重力可計算月球的質量，再根據密度的定義式可計算月球的密度．

解答：解：（1）第一宇宙速度是星球近表面圓軌道衛星運行的速度大小．
根據衛星的萬有引力等于向心力得

GMm

R2

=m

v 2 1

R

根據月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg
聯立求得：v₁=

gR

（2）根據衛星的萬有引力等于向心力列出等式：

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

得：r=

3	GMT2 4π2

根據月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg  即GM=gR²
所以該衛星此時的運行半徑r=

3	gR2T2 4π2

（3）根據月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg
M=

gR2

G

月球平均密度ρ=

M

V

=

gR2 G

4πR3 3

=

3g

4πGR

答：（1）該衛星環繞月球運行的第一宇宙速是

gR

（2）該衛星此時的運行半徑是

3	gR2T2 4π2

；
（3）密度表達式是

3g

4πGR

．

點評：本題主要掌握天體運動的兩個問題：1、萬有引力提供向心力，2、星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．掌握好這兩個關系可以解決所以天體問題．