Question

質量為M的圓環用細線（質量不計）懸掛著，將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上且可以在環上做無摩擦的滑動，如圖所示，今同時將兩個小珠從環的頂部釋放，并沿相反方向自由滑下，試求：
（1）在圓環不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ（θ為小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角）變化的函數關系，并求出張力T的極小值及相應的cosθ值；
（2）小珠與圓環的質量比

m

M

至少為多大時圓環才有可能上升？

Answer 1

分析：（1）對其中任一小珠研究，根據機械能守恒求得速度與θ的關系式，小珠做圓周運動，指向圓心的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小珠所受的圓環的彈力，再根據牛頓第三定律得到小珠對圓環的彈力，圓環處于靜止狀態，由平衡條件求出T與θ的關系式，再根據數學知識分析極小值及相應的cosθ值；
（2）當圓環所受的合力向上時，有可能上升，根據上問的結果進行討論．

解答：解：（1）設小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角為θ時小珠的速度大小為v．
根據機械能守恒定律得：
  

1

2

mv2=mgR（1-cosθ）
設圓環對小珠的彈力大小為N，由牛頓第二定律得
  mgcosθ-N=m

v2

R

對于圓環，合力為零，則有
  T=Mg+2Ncosθ
聯立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
根據拋物線方程知，當cosθ=-

b

2a

=-

-4mg

12mg

=

1

3

時，T有極小值，極小值為T_min=Mg-

2

3

mg
（2）由上知，T_min=Mg-

2

3

mg，說明此時小珠對圓環的作用力的合力方向向上，大小為N′=

2

3

mg
當N′＞Mg時，圓環將會上升，則有T_min=Mg-

2

3

mg＜0
解得，

m

M

＞

3

2

答：（1）在圓環不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ變化的函數關系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ，張力T的極小值是Mg-

2

3

mg，相應的cosθ值是

1

3

；
（2）小珠與圓環的質量比

m

M

至少為

2

3

時圓環才有可能上升．

點評：本題運用機械能守恒、圓周運動、力平衡條件結合推導出T的表達式，再根據數學知識求解T的極小值．