Question

國防科技工業局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三號”將于2013年下半年擇機發射．我國已成功發射了“嫦娥二號”探月衛星，該衛星在環月圓軌道繞行n圈所用的時間為t，月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．
（1）請推導出“嫦娥二號”衛星離月球表面高度的表達式；
（2）地球和月球的半徑之比為

R

R0

=

4

1

、表面重力加速度之比為

g

g0

=

6

1

，試求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析：“嫦娥二號”星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式．
忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式求解．
根據密度的公式和已知量表示出密度進行之比．

解答：解：（1）“嫦娥一號”星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m（

2π

T

）²r     ①
在月球表面，根據萬有引力等于重力列出等式：

GMm

r02

═mg₀  ②
衛星在環月圓軌道繞行n圈，飛行時間為t，所以T=

t

n

       ③
r=R₀+h              ④
由①②③④解得：h=

3	R 2 0 g0 t 2 0 4n2π2

-R₀
（2）在星球表面，根據萬有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg ⑤
ρ=

M′

V

               ⑥
已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
答：（1）衛星在環月圓軌道上運行時離月球表面高度h的表達式為

3	R 2 0 g0 t 2 0 4n2π2

-R₀；
（2）地球和月球的密度之比為

3

2

．

點評：本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．