Question

【題目】將從空中下落的雨滴看作為球體，設它豎直落向地面的過程中所受空氣阻力大小為f=kr2v2，其中v是雨滴的速度大小，r是雨滴半徑，k是比例系數。設雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

（1）試通過列式說明雨滴在下落過程中加速度如何變化；

（2）設雨滴的密度為ρ，推導雨滴無風下落過程中的最大速度vm與半徑r的關系式；

（3）示意圖中畫出了半徑為r1、r2（r1>r2）兩種雨滴在空氣中無初速下落的v–t圖線，其中對應半徑為r1的雨滴；

（4）無風時，一般情況下小雨和暴雨雨滴落地時速度有何不同？說明該自然現象的原因。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①；（4）見解析

【解析】

（1）對雨滴受力分析如圖所示

由牛頓第二定律可得：

由題意可知f=kr2v2，即：

雨滴下落過程中，速度v與加速度a方向相同，可見隨著速度v的增加，加速度a減小，當阻力f增大到與重力mg一樣大時，a減小到零（或雨滴做加速度減小的加速運動，直至加速度為零。）

（2）根據上述推導

當加速度為零時，雨滴速度最大，而雨滴質量為

當加速度a=0，可得雨滴的最大速度：

（3）由（2）中雨滴的最大速度，可知，當雨滴半徑增大時，雨滴的最大速度也增大，因r1>r2，則①是半徑為r1的雨滴；

（4）一般情況下暴雨雨滴落地時速度要比小雨雨滴落地時速度的速度快由（2）結論，雨滴收尾速度與半徑有關，暴雨的雨滴體積大，因此速度也大。