Question

【題目】在空間中幾個點依次放置幾個點電荷，，，，…，，對于點，其余個點電荷在這一點上的電勢和為，若在這個點上換上另個點電荷，，，…，，同理定義

（1）證明：

（2）利用（1）中結論，證明真空中一對導體電容器的電容值與這兩個導體的帶電量無關．（這對導體帶等量異號電荷）

（3）利用（1）中的結論，求解如下問題：如圖所示，正四面體各面均為導體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個面的靜電勢分別為、、和，求四面體中心點的電勢

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）設點對點所產生的電勢為，同理易知點對點產生電勢為，而對于此二點系統，我們有，即

所以，，易知為只與位置有關的參量．

又（令）

則（只與位置有關）

所以，

所以原式（格林互易定理）成立

（2）分別設兩導體前后所帶靜電分別為，，其對應的電容分別為、

則由（1）知，（其中，為帶時兩導體電勢）

同樣（其中，為帶時兩導體電勢）

由（1）知二者相等，則

所以，

即與導體帶電量多少無關．

（3）由題意，設四個面與中心的電荷量分別為、、、、0

同時，四個面與中心的電勢分別為、、、、．

現將外面四個面接地，中心放一個電量為的點電荷，中心電勢為，而四個面產生的感應電荷都相等，為，則此時四個面與中心的電荷和電勢分別為

、、、、；0、0、0、0、

由格林互易定理可得

即可得