Question

【題目】如圖所示，在平面內，有一電子源持續不斷地沿正方向每秒發射出個速率均為的電子，形成寬為、在軸方向均勻分布且關于軸對稱的電子流。電子流沿方向射入一個半徑為，中心位于原點的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直平面向里，電子經過磁場偏轉后均從點射出，在磁場區域的正下方有一對平行于軸的金屬平行板K和A，其中板與點的距離為，中間開有寬度為且關于軸對稱的小孔。K板接地，A與K兩板間加有正負、大小均可調的電壓，穿過K板小孔到達A板的所有電子被收集且導出，從而形成電流。已知，，電子質量為，電荷量為，忽略電子間相互作用。

(1)求磁感應強度的大小；

(2)求電子從點射出時與負軸方向的夾角的范圍；

(3)當時，每秒經過極板K上的小孔到達極板A的電子數；

(4)求為多大時，板間的電流為0。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) ；(4)

【解析】

(1)所有電子均從點射出，說明電子做圓周運動的半徑與磁場的半徑相等，根據洛倫茲力提供向心力求解出磁感應強度；

(2)畫出臨界圓的軌跡，根據幾何知識求解電子從點射出時與負軸方向的夾角的范圍；

(3)求出從缺口邊界射入電場的粒子離開磁場時與軸負方向的夾角，從而求解出對應的進入磁場時電子源的高度，該高度與電子源的總高度的比等于射入電場的電子數與總電子數的比，從而求解出每秒經過極板上的小孔到達極板的電子數；

(4)根據動能定理求解遏止電壓。

(1)根據題意可知，電子在磁場中做圓周運動的軌道半徑

根據牛頓第二定律有

解得

(2)運動軌跡圖如下：

，

上端電子從點射出時與負軸最大夾角，由幾何關系有

解得

同理下端電子從點射出與負軸最大夾角也是，所以電子從點射出時與軸負方向的夾角的范圍是

(3)進入小孔的電子速度與軸間夾角正切值最大為

解得

此時對應的能夠進入平行板內電子長度為，根據幾何關系知

設每秒能到達板的電子數為，則由比例關系知

解得

(4)只要豎直向下的電子達不到板，其它電子一定達不到，此時的電壓大小為，根據動能定理得

解得

下極板帶負電。