Question

【題目】如圖所示，一傾角為的固定斜面的底端安裝一彈性擋板，P、Q兩物塊的質量分別為m和4m，Q靜止于斜面上A處。某時刻，P以沿斜面向上的速度v0與Q發生彈性碰撞。Q與斜面間的動摩擦因數等于，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。P與斜面間無摩擦，與擋板之間的碰撞無動能損失。兩物塊均可以看作質點，斜面足夠長，Q的速度減為零之前P不會與之發生碰撞。重力加速度大小為g。

(1)求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vP1、vQ1；

(2)求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn；

(3)求物塊Q從A點上升的總高度H；

(4)為保證在Q的速度減為零之前P不會與之發生碰撞，求A點與擋板之間的最小距離s。

Answer 1

【答案】(1) P的速度大小為，Q的速度大小為；(2)（n=1，2，3……）；(3)；(4)

【解析】

(1)P與Q的第一次碰撞，取P的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得

①

由機械能守恒定律得

②

聯立①②式得

③

④

故第一次碰撞后P的速度大小為，Q的速度大小為

(2)設第一次碰撞后Q上升的高度為h1，對Q由運動學公式得

⑤

聯立①②⑤式得

⑥

設P運動至與Q剛要發生第二次碰撞前的位置時速度為，第一次碰后至第二次碰前，對P由動能定理得

⑦

聯立①②⑤⑦式得

⑧

P與Q的第二次碰撞，設碰后P與Q的速度分別為、，由動量守恒定律得

⑨

由機械能守恒定律得

⑩

聯立①②⑤⑦⑨⑩式得

設第二次碰撞后Q上升的高度為h2，對Q由運動學公式得

聯立①②⑤⑦⑨⑩式得

設P運動至與Q剛要發生第三次碰撞前的位置時速度為，第二次碰后至第三次碰前，對P由動能定理得

聯立①②⑤⑦⑨⑩式得

P與Q的第三次碰撞，設碰后P與Q的速度分別為、，由動量守恒定律得

由機械能守恒定律得

聯立①②⑤⑦⑨⑩式得

設第三次碰撞后Q上升的高度為h3，對Q由運動學公式⑩得

聯立①②⑤⑦⑨⑩式得

總結可知，第n次碰撞后，物塊Q上升的高度為

（n=1，2，3……）

(3)當P、Q達到H時，兩物塊到此處的速度可視為零，對兩物塊運動全過程由動能定理得

解得

(4)設Q第一次碰撞至速度減為零需要的時間為t1，由運動學公式得

設P運動到斜面底端時的速度為，需要的時間為t2，由運動學公式得

設P從A點到Q第一次碰后速度減為零處勻減速運動的時間為t3

當A點與擋板之間的距離最小時

聯立式，代入數據得