Question

已知某球形天體的密度為ρ₀，引力常量為G．
（1）證明對環繞密度相同的球形天體表面運行的衛星，運動周期與天體的大小無關（球的體積公式為V=

4

3

πR³，其中R為球半徑）
（2）若球形天體的半徑為R，自轉的角速度ω₀₌

RGρ0

2

，表面周圍空間充滿厚度d=

R

2

（小于同步衛星距天體表面的高度）．密度ρ=

4ρ0

19

的均勻介質，試求同步衛星距天體表面的高度．

Answer 1

分析：（1）由萬有引力充當向心力的周期公式，和質量=密度×體積，可以得到周期與半徑的關系
（2）計算出來天體及周圍介質的質量，進而由萬有引力可以得到高度．

解答：解：
（1）證明：由萬有引力定律得：
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又：M=ρ0

4

3

πR3
解得：
T2=

3π

Gρ0

故T與R無關
（2）把天體和周圍空間介質看成一個球體，其質量為M，則
M=ρ0

4

3

πR3+

4

3

π(R+

R

2

)3-

4

3

πR3×

4

19

ρ0=ρ02πR3
再由萬有引力定律得：

Gmρ02πR3

(R+h)3

=m（R+h）ω₀²
解得：h=R
答：
（1）由T2=

3π

Gρ0

，可知，T與R無關
（2）同步衛星距天體表面的高度為R

點評：本題繁瑣點在于求天體及周圍介質的質量，只要正確求出質量，就可以很容易得到同步衛星高度．