Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區域，區域內外均有垂直于該平面的勻強磁場，圓外磁場范圍足夠大，已知兩部分磁場方向相反且磁感應強度都為B，方向如圖所示。現在圓形區域邊界上的A點有一個帶電量為+q，質量為m的帶電粒子以垂直于磁場方向且沿半徑向圓外的速度從該圓形邊界射出，已知該粒子只受到磁場對它的作用力。求：
(1)若粒子從A點射出后，第二次經過磁場邊界時恰好經過C點(AC是圓形區域的直徑)，求粒子的運動半徑；
(2)若粒子在其與圓心O的連線旋轉一周時，恰好能回到A點，試求該粒子運動速度v的可能值；
(3)在粒子恰能回到A點的情況下，求該粒子回到A點所需的最短時間。

Answer 1

解：(1)根據軌跡圖可得粒子運動的半徑r=R

(2)設粒子運動的半徑為r
由得 ①
如圖，O₁為粒子運動的第一段圓弧AB的圓心，O₂為粒子運動的第二段圓弧BC的圓心，根據幾何關系可知 ②
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A點，則必有n×2θ=2π，n取正整數  ③
由①②③可得
考慮到θ為銳角，即，根據③可得n≥3
故
(3)粒子做圓周運動的周期
因為粒子每次在圓形區域外運動的時間和圓形區域內運動的時間互補為一個周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數越少，所花時間就越短，因此取n=3代入到③可得
粒子在圓形區域外運動的圓弧的圓心角為α，
故所求的粒子回到A點的最短運動時間