Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區域，區域內外均有垂直于該平面的勻強磁場，圓外磁場范圍足夠大，已知兩部分磁場方向相反且磁感應強度都為B，方向如圖所示．現在圓形區域的邊界上的A點有一個電量為q，質量為m的帶電粒子以沿半徑且垂直于磁場方向向圓外的速度經過該圓形邊界，已知該粒子只受到磁場對它的作用力．
（1）若粒子在其與圓心O連線旋轉一周時恰好能回到A點，試求該粒子運動速度V的可能值．
（2）在粒子恰能回到A點的情況下，求該粒子回到A點所需的最短時間．

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出軌道半徑r；
（2）畫出離子運動的軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑，即可求出離子的運動速度v；
（3）粒子穿越圓形邊界的次數越少，所需時間就越短，根據上題中結論，求出粒子在圓形區域內運動的圓弧的圓心角，即可求出離子回到A點所需的最短時間t．

解答：解：（1）粒子運動的半徑為r
BqV=m

V2

r

r=

mV

Bq

…①
如圖，O₁為粒子運動的第一段圓弧AB的圓心，
O₂為粒子運動的第二段圓弧BC的圓心，
根據幾何關系可知
tanθ=

r

R

…②
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A點，則必有
n˙2θ=2π，n取正整數…③
由①②③可得
V=

BqR

m

tan

π

n

考慮到θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，根據③可得．
n≥3 
故V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）     
（2）粒子做圓周運動的周期
T=

2πm

Bq

因為粒子每次在圓形區域外運動的時間和圓形區域內運動的時間互補為一個周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數越少，所花時間就越短，因此取n=3
代入到③可得：θ=

π

3

而粒子在圓形區域外運動的圓弧的圓心角為α
α=2π-2（

π

2

-θ）=

5

3

π
故所求的粒子回到A點的最短運動時間
t=T+

α

2π

T=

11πm

3Bq

答：（1）若粒子在其與圓心O連線旋轉一周時恰好能回到A點，試求該粒子運動速度V的可能值V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）．
（2）在粒子恰能回到A點的情況下，求該粒子回到A點所需的最短時間為

11πm

3Bq

．

點評：本題中離子做周期性的運動，畫出軌跡，由幾何知識求解軌道半徑是解題的關鍵．