Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環．棒和環的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg（k＞1）．斷開輕繩，棒和環自由下落．假設棒足夠長，與地面發生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環和棒的加速度．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s．
（3）與地面第二次碰撞前要使環不脫離棒，棒最少為多長？
（4）從斷開輕繩到棒和環都靜止，要使環不脫離棒，棒最少為多長？

Answer 1

解：（1）第一次碰地后，環和棒的加速度大小分別是
a_環==（k-1）g，豎直向上．
a_棒==（k+1）g．豎直向下．
（2）落地及反彈的瞬時速度大小v₁=，a_棒=（k+1）g，豎直向下，
勻減速上升高度s₁=，
而s=H+2s₁．
解得s=
（3）設經過時間t₁達到共速v₁′，方向向下．以向下為正方向，
v₁′=v₁-a_環t₁=-v₁+a_棒t₁，
解得t₁=，v₁′=，
該過程棒上升的高度=
環下降的高度h₂==，相對滑動距離x₁=h₁+h₂=．
故棒最少長度為
（4）設從斷開輕繩到棒和環都靜止，要使環不脫離棒，棒最少為l．根據能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
解得l=
答：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環和棒的加速度分別為（k-1）g，豎直向上和（k+1）g．豎直向下．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s為：
（3）與地面第二次碰撞前要使環不脫離棒，棒最少為．
（4）從斷開輕繩到棒和環都靜止，要使環不脫離棒，棒最少為．
分析：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環由于慣性繼續向下運動，受到向上的滑動摩擦力，大小為kmg，棒向上運動，受到向下的滑動摩擦力，大小為kmg，故可以根據牛頓第二定律分別求出環和棒的加速度．
（2）棒運動的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運動學公式可以求得上升的高度．
（3）彈起后，環的運動由兩個過程構成，一個是向下的勻減速，另一個是向上的勻加速直到與棒的速度相等，根據運動學公式求出兩者相對滑動距離，即等于棒最少長度．
（4）據能量守恒列式，求出棒最少為長度．
點評：本題綜合性較強，涉及多過程運動分析，難點在于分析棒和環的相對運動，進而得出位移．