Question

某炮豎直向上發射炮彈，炮彈的質量M為3kg（內含炸藥的質量可以忽略不計），炮彈被射出的初速度v₀為60m/s．當炮彈到達最高點時爆炸為沿水平方向相向飛行的兩片，其中一片質量m為2kg，其炸開瞬間的速度大小是另一片的一半．現要求彈片不能落到以發射點為圓心、以半徑R為480m的圓周范圍內．假定重力加速度g始終為10m/s²，忽略空氣阻力．求剛爆炸完時兩彈片的總動能至少多大？

Answer 1

分析：炮彈豎直向上做勻減速運動，已知初速度v₀為60m/s，由運動學公式求出炮彈上升的最大高度；
炮彈到達最高點時爆炸時，爆炸的內力遠大于重力（外力），遵守動量守恒定律；
當炮彈到達最高點時爆炸為沿水平方向運動的兩片，兩片炸彈都做平拋運動．
根據平拋運動的知識求出一片質量m炸彈平拋的初速度，根據動量守恒定律得出另一塊炸彈的初速度，從而得出剛爆炸完時兩彈片的總動能．

解答：解：設炮彈止升到達最高點的高度為H，
根據勻變速直線運動規律有，

v

2 0

=2gH
解得：H=

v 2 0

2g

=

602

2×10

=180m                                               
設質量為m的彈片剛爆炸后的速度為v，則另一塊的速度為v₂=2v
根據動量守恒定律，有mv=（M-m）?2v
運動的時間為t，根據平拋運動規律，有
  H=

1

2

gt2
  R=vt
得 v=R

g 2H

=480

10 2×180

=80m/s                                      
  v₂=2v=160m/s                                                      
炮彈剛爆炸后，兩彈片的總動能：
 解以上各式得：Ek=

1

2

mv2+

1

2

(M-m)(2v)2=

1

2

×2×802+

1

2

×1×1602=1.92×104J  
答：剛爆炸完時兩彈片的總動能至少為1.92×10⁴J．

點評：本題涉及到豎直上拋運動、平拋運動，綜合運用了動量守恒定律、能量守恒定律以及運動學公式，綜合性強，關鍵理清運動過程，選擇合適的規律求解．