Question

如圖所示，一絕緣細圓環半徑為r，其環面固定在豎直面上，場強為E的勻強電場與圓環平面平行，環上穿有一電荷量+q，質量為m的小球，可沿圓環做無摩擦的圓周運動，若小球經A點時速度v_A的方向恰與電場垂直，且圓環與小球間沿水平方向無力的作用．
（1）求小環運動到A點的速度v_A是多少？
（2）當小球運動到與A點對稱的B點時，小球對圓環在水平方向上的作用力F_B是多少？
（3）若E=

mg

q

，小球最大動能為多少．

Answer 1

分析：（1）“小球經A點時圓環與小球間沿水平方向無力的作用”是解題的突破口，即小球到達A點時電場力提供向心力，這樣可以求出v_A；
（2）根據從A到B的運動過程中只有電場力做功可以求出小球運動到B點時的速度v_B，再根據向心力公式可得N_B．
（3）若E=

mg

q

，由于球只受到重力和電場力的作用，并且重力和電場力的大小相等，當兩個力的合力沿半徑向外時，相當于經過單擺的最低點，動能最大，根據動能定理求解最大動能．

解答：解：（1）由題意可知小球到達A點時電場力提供向心力即qE=

m v 2 A

r

解得v_A=

qEr m

（2）從A到B的運動過程中，根據動能定理可得
  2qEr=

1

2

mv_B²-

1

2

mv_A²
在B點根據向心力公式可得N_B-qE=m

v 2 B

r

聯立以上三式得N_B=6qE
根據牛頓第三定律可得小球對圓環在水平方向的作用力大小為6qE．
（3）若E=

mg

q

，由qE=mg．由于球只受到重力和電場力的作用，并且重力和電場力的大小相等，當兩個力的合力沿半徑向外時，如圖所示經過D點時，動能最大，CD與豎直方向的夾角為45°，根據動能定理得：
 從A→B：mgrcos45°+qE（1+sin45°）r=E_k-

1

2

m

v

2 A

解得球最大動能為E_k=（

3

2

+

2

）mgr
答：
（1）求小環運動到A點的速度v_A是

qEr m

；
（2）當小球運動到與A點對稱的B點時，小球對圓環在水平方向上的作用力F_B是6qE．
（3）若E=

mg

q

，小球最大動能為（

3

2

+

2

）mgr．

點評：本題是向心力、動能定理的綜合應用，關鍵是運用類比的方法方法找出小球動能最大的位置，相當于單擺的最低點．