Question

如圖所示，A、B兩行星在同一平面內繞同一顆恒星運動，運動的方向相同，A、B兩行星的軌道半徑分別為r₁、r₂，已知恒星的質量為M，且恒星對兩行星的引力遠遠大于兩行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁＜r₂，若在某一時刻兩行星相距最近，試求：
（1）經多長時間兩行星相距最近？
（2）經多長時間兩行星相距最遠？

Answer 1

（1）
（2）

（1）設經過時間A、B兩行星轉過的角度分別是和，則兩行星相距最近的條件是：-                    
又因為恒星對行星萬有引力提供向心力，則， 
即對A、B兩行星則有：
由此可得：。     
（2）如果經過時間，A、B兩行星處于同心圓的同一條直線上，則A、B兩星必然相距最遠，
A、B二星各自轉過的角度之差必為的奇數倍，即-
代入、，的值可得：