Question

如圖所示裝置，圓形磁場區域半徑為R₁₌=

3

×10^-2m，其中分布垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，與磁場區域同心的圓筒半徑為R₂=2

3

×10^-2m，其左側與兩平行金屬板MN相鄰，相鄰處有一小孔，將平行板內部和圓筒內部連通．平行金屬板MN內部緊靠M板處有一帶電粒子處于靜止狀態，且粒子位于小孔和磁場圓心的連線上，其電量為q=+3.2×10^-19C，質量為m=6.4×10^-27Kg．當兩金屬板間電壓為U₁=225V時，帶電粒子經過電場加速后通過磁場，速度方向偏轉了

π

3

．不計重力和一切阻力，求：
（1）粒子進入磁場時的速度大小和磁場的磁感應強度B：
（2）如果將兩金屬板間電壓變為U₂=25V，粒子再次由靜止加速后通過磁場區域，求兩種情況下粒子在圓筒中運動的時間差．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中加速，根據動能定理求得速度，根據洛倫茲力提供向心力公式及幾何關系即可求解B；
（2）根據周期公式及運動軌跡對應的圓心角分別求出兩次電壓下粒子在圓筒中運動的時間，再求出在圓筒與磁場間區域勻速運動的時間，即可求解時間差．

解答：解：（1）粒子在電場中加速，設獲得速度為v1，根據動能定理得：
qU₁=

1

2

mv12
解得：v₁=1.5×10⁵m/s
粒子在磁場中做勻速圓周運動，設半徑為r₁，則
Bqv₁=

mv12

r1

由幾何關系可知，粒子在磁場中軌跡對應的圓心角
θ₁=60°
r₁=R₁cot

θ1

2

帶入數據解得：B=0.1T
（2）粒子在磁場中運動周期為：
T=

2πm

Bq

T=4π×10^-7s
則粒子在磁場中運動的時間t₁=

θ1

2π

T
設粒子在圓筒與磁場間區域勻速運動的時間為t₁′，則
t₁′=

2(R2-R1)

v1

當電場電壓為U₂=25V時，設粒子加速后獲得的速度為v₂，由動能定理得：
qU₂=

1

2

mv22
解得：v₂=0.5×10⁵m/s
粒子在磁場中做勻速圓周運動，設半徑為r₂，則
Bqv₂=

mv22

r2

解得：r₂=1×10^-2m
由圖中幾何關系可知：
r₂=R₂cot

θ2

2

θ₂=120°
則粒子在磁場中運動的時間t₂=

θ2

2π

T
設粒子在圓通與磁場間區域勻速運動的時間為t₂′，則
t₂′=

2(R2-R1)

v2

兩種運動的時間差
△t=t₂+t₂′-（t₁+t₁′）
帶入數據解得△t=6.7×10^-7s
答：（1）粒子進入磁場時的速度大小和磁場的磁感應強度B為0.1T：
（2）兩種情況下粒子在圓筒中運動的時間差為6.7×10^-7s．

點評：本題中粒子先在電場中做加速直線運動，后做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動．由動能定理可求得末速度；而在磁場中做圓周運動，確定圓心和半徑為解題的關鍵．