Question

（21分）如圖所示，一個矩形線圈的ab、cd邊長為L₁，ad、bc邊長為L₂，線圈的匝數為N，線圈處于磁感應強度為B的勻強磁場中，并以OO^/為中軸做勻速圓周運動，（OO^/與磁場方向垂直，線圈電阻不計），線圈轉動的角速度為ω，設轉動從中性面開始計時，請回答下列問題：

（1）請用法拉第電磁感應定律證明該線圈產生的是正弦交流電。
（2）將線圈產生的交流電通入電阻為R的電動機時，形成的電流有效值為I，請計算該電動機的輸出的機械功率（其它損耗不計）。
（3）用此電動機將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導體棒EF從靜止向上拉，已知導體棒的質量為m，U型金屬框架寬為L且足夠長，內有垂直向里的勻強磁場，磁感應強度為B₀，導體棒上升高度為h時，經歷的時間為t，且此時導體棒剛開始勻速上升，棒有效電阻為R₀，金屬框架的總電阻不計，棒與金屬框架接觸良好，請計算：
①導體棒勻速上升時的速度和已知量的關系。
②若t時刻導體棒的速度為v₀，求t時間內導體棒與金屬框架產生的焦耳熱。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）P=－I²R
（3）①－I²R= mgv＋
②Q=(－I²R)t－mgh－mv₀²

（1）（6分）證明：如圖所示，邊長L₁切割磁感線產生電動勢

e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt  而線速度V=
∴ e₁=BL₁sinωt 因有兩個邊切割，且有N匝
∴ e="2N" e₁=NBL₁L₂ωsinωt   即：e=E_msinωt
（2）次電流通過電動機時，輸入的功率

由能量守恒知： P_入=P_Q＋P（P為機械功率）
∴P=－I²R           (5分)
（3）①（5分）電機帶導體棒勻
速上升。受力如圖

F=B₀IL＋mg    I= ，F=
∴=mg＋
即：－I²R= mgv＋
②（5分）對上升h應用動能定理：Pt－W－mgh=mv₀²－0
Q="W=" Pt－mgh－mv₀²
Q=(－I²R)t－mgh－mv₀²