專題九：立體幾何
瓶窯中學 黃向軍
【考點審視】
高考試卷中立體幾何把考查的立足點放在空間圖形上,突出對空間觀念和空間想象能力的考查.立體幾何的基礎是對點、線、面的各種位置關系的討論和研究,進而討論幾何體。因此高考命題時，突出空間圖形的特點，側重于直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關系的考查，以便審核考生立體幾何的知識水平和能力。
多面體和棱柱、棱錐、正多面體、球是空間直線與平面問題的延續和深化。要熟練掌握概念、性質以及它們的體積公式，同時也要學會運用等價轉化思想，會把組合體求積問題轉化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉化求解問題，會把立體問題轉化為平面問題來解，會運用“割補法”等求解。
本章主要考查平面的性質、空間兩直線、直線和平面、兩個平面的位置關系以及空間角和距離、面積及體積。
考試要求
（１）掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形。能夠根據圖形想象它們的位置關系。
（２）掌握兩條直線平行與垂直的判定、性質定理。掌握兩條直線所成的角和距離的概念。
（3）掌握直線和平面平行、垂直的判定、性質定理。掌握直線和平面所成的角、距離的概念。了解三垂線定理及其逆定理。
（4）掌握兩個平面平行、垂直的判定、性質定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩平面間的距離的概念。
（5）會用反證法證明簡單的問題。了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。
（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖。
（7）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。
（8）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。
（9）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。
【疑難點拔】
1、 立體幾何高考命題及考查重點、難點穩定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質與判定、線面間的角與距離的計算作為考查的重點，尤其是以多面體和旋轉體為載體的線面位置關系的論證，更是年年反復進行考查，在難度上也始終以中等偏難為主。
2、 高考直接考查線面位置關系，以多面體為載體考查線面間位置關系是今后命題的一種趨勢。
3、 求二面角高考中每年必考，復習時必須高度重視。
4、 由于近年考題常立足于棱柱、棱錐和正方體，因此復習時應注意多面體的依托作用，熟練多面體性質的應用，才能發現隱蔽條件，利用隱含條件，達到快速準確解題的目的。
5、 立體幾何的證明與計算的書寫格式要求非常嚴格，因此在平時的訓練中要多加注意書寫的格式的嚴密性。
6、
（1995年全國文24、理23）如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF
DE，F是垂足。
（1）
求證：AF DB
；
（2）
（理）如果圓柱與三棱柱D-ABE的體積比等于3
，求直線DE與平面ABCD所成的角。
（文）求點E到截面ABCD的距離。
評述：本題主要考查圓柱的概念，兩異面直線垂直、直線與平面的垂直、圓柱及棱錐的體積、直線與平面所成的角。主要考查空間想象能力和邏輯推理能力。
分析本題考生答題失誤大致有如下幾點：
（1） 缺乏清晰的空間形體觀念，抓不住“DA、AE、EB三線兩兩垂直”這個本質關系，解答過程中方向不明，層次不清，邏輯混亂現象均可能發生。
（2） 未能找到DE與平面ABCD所成的角
（3） 未能正確和準確地進行推理計算，隨意列寫各種關系，盲目換算。
（4） 數值計算出現差錯。
專題九： 立體幾何
瓶窯中學 黃向軍
【經典題例】
例1：在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點。將
ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成的度數為（ ）
A
90
B
C 45
D 0
[思路分析]
將三角形折成三棱錐以后，HG與IJ為一對異面直線。過點D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD。所以
ADF即為所求。故HG與IJ所成角為60
[簡要評述]
本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關系是關鍵。通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。
例2：正六棱柱ABCDEF--A
BCDEF的底面邊長為1，側棱長為
，則這個棱柱的側面對角線ED與BC所成的角是（ ）
A 90
B 60
C 45
D 30
[思路分析]
連接FE、FD，則由正六棱柱相關性質得FE//BC。在
中，EF=ED=1，
，
。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=
。
是等邊三角形。
。即BC與DE所成的角為60。
[簡要評述]
本題主要考查正六棱柱的性質及異面直線所成的角的求法。
例3：如圖，在底面邊長為2的正三棱錐V―ABC中，E是BC的中點，若
的面積是
，則側棱VA與底面所成的角的大小為：____________
（結果用反三角函數值表示）。
[思路分析]
作VO垂直AE，由正三棱錐V―ABC得O為
中心。則AE=2
=，
得VO=
tanVAO=
，得VA與底面所成的角的大小為arctan
[簡要評述]
本題主要考查正三棱柱的性質及直線與平面所成的角的作法與求法。
例4：若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側面和底面所成二面角的大小為：_________ （結果用反三角函數值表示）
[思路分析]
設棱錐的高為h，如圖則V=
，D為BC的中點，OD=
易證
為側面與底面所成二面角的平面角，
，故
。
[簡要評述]
本題主要考查三棱錐中的基本數量關系，考查二面角的概念及計算。
例5：關于直角AOB在定平面
內的射影有如下判斷：（1）可能是0
的角；（2）可能是銳角；（3）可能是直角；（4）可能是鈍角；（5）可能是180的角。其中正確判斷的序號是： （注：把你認為是正確判斷的序號都填上）。
[思路分析]
答案：1、2、3、4、5。
[簡要評述]
這是考核空間想象能力的問題。
例6：如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。
（1）
求證BC
（2） 求面ASD與面BSC所成二面角的大小。
（3）
| ||||||||||||||||||||||||||||
證明：EF為BD
例8：在三棱錐S―ABC中，
，且AC=BC=5，SB=5
，如圖。
。
是二面角的平面角，故在Rt
與Rt
可求得
。又由Rt
，故可得V
。
（B）45
（B）
（C）
（D）
折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30
（B）
（C）
（D）3
為120
,則
所在平面內的直線與m所成角的取值范圍是
（ ）
（B）
（C）
（D）
及平面M、N，下列命題中正確的是
（ ）
a,則b
且
則
（D）若
則
（B）
（C）
（D）
，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
（B）4
（D）6
（B）
（C）
（D）
與
都垂直于平面
（B）
是內兩條直線，且
是兩條異面直線，且
B
的扇形卷成一個圓錐形容器，這個容器的容積為：_________________
。
求異面直線AC與BC
。拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角的關系式，并予以證明。
17．如圖ABCD―
是正四棱柱，側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點。
中，D是BC的中點，AB=a.
求證：
19．如圖四棱錐P---ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB
中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF。
；